Теорема Безу и схема Горнера — простыми словами

Многочлены и уравнения с ними нужны не только в школе: они применяются в инженерных расчётах, компьютерной графике, моделировании и анализе данных. И часто необходимо найти такие значения x, при которых выражение становится равным нулю, — то есть определить корни многочлена.

В этой статье мы разберём два инструмента для работы с многочленами: теорему Безу и схему Горнера. Будем объяснять всё по шагам: сначала найдём один корень подстановкой, затем вынесем соответствующий множитель и разделим многочлен, чтобы понизить степень. А в конце расскажем о типичных ошибках и дадим задачи для закрепления темы.

Содержание

• Находим первый корень многочлена
• Теорема Безу: привязываем корень к делению
• Схема Горнера: делим многочлен и завершаем разложение
• Типичные ошибки
• Задачи для самопроверки

Находим первый корень многочлена

Начнём с такого примера:

x³ − 4x² + x + 6

Такое выражение называют многочленом, и в данном случае оно состоит из слагаемых x³, −4x², x и 6. Если подставить в него вместо x какое‑то число и в результате получить 0, то это число называют корнем многочлена. Например, если при x = 2 значение выражения будет равно 0, то это значит, что 2 — корень.

Найденному корню соответствует множитель: корню 2 — двучлен (x − 2). Разделив многочлен на (x − 2), мы понижаем степень: вместо кубического выражения получаем квадратное — его уже проще решить. Чтобы не переписывать левую часть уравнения каждый раз, введём обозначение:

P(x) = x³ − 4x² + x + 6

Чтобы было проще читать запись, уточним термины:

• степень многочлена — 3, потому что самая большая степень x здесь равна трём;
• коэффициенты — числа перед x: 1, −4, 1. Единицу перед x³ и x обычно не пишут, но она подразумевается;
• свободный член — 6, то есть часть без x;
• двучлен — выражение из двух слагаемых, например x − 2 или x + 3.

Дальше нам нужно найти хотя бы один корень многочлена. Проще всего начать с подстановки: подставляем разные значения x и смотрим, когда P(x) станет равным нулю. Давайте начнём с проверки и вернёмся к записи:

P(x) = x³ − 4x² + x + 6

Подставляем число вместо x и считаем значение P(x). Проверим число 1:

P(1) = 1³ − 4 · 1² + 1 + 6

P(1) = 1 − 4 + 1 + 6

P(1) = 4

Получилось 4, а не 0, — значит, 1 не подходит. Можно продолжать подставлять значения x наугад, но обычно начинают с простых целых чисел. Если у многочлена целые коэффициенты и старший коэффициент равен 1, то целый корень (если он существует) чаще всего находится среди делителей свободного члена. В нашем примере свободный член равен 6, поэтому логично проверить ±1, ±2, ±3, ±6. Мы проверили 1 — теперь попробуем 2:

P(2) = 2³ − 4 · 2² + 2 + 6

P(2) = 8 − 16 + 2 + 6

P(2) = 0

Поскольку значение получилось равным нулю, число 2 — корень многочлена P(x) и, значит, исходного уравнения. Это отправная точка: дальше мы будем делить P(x) на x − 2 и продолжим работу с выражением меньшей степени.

Теорема Безу: привязываем корень к делению

Теорема Безу связывает корни многочлена и деление на двучлен вида x − a: если подставить число a в многочлен P(x), то получится ровно тот остаток, который будет при делении P(x) на x − a. Поэтому теорема помогает быстро проверить, является ли a корнем: если P(a) = 0, значит остаток равен нулю и многочлен делится на x − a без остатка. Запишем это в виде формулы:

P(x) = (x − a)Q(x) + P(a)

Q(x) — это частное, то есть многочлен, который получается после деления P(x) на x − a. Но нам сейчас важнее не оно, а остаток: именно он показывает, делится ли P(x) на x − a без остатка. Отсюда следуют два вывода:

• если P(a) = 0, значит P(x) делится на x − a без остатка;
• следовательно, x − a — множитель многочлена.

Мы посчитали, что P(2) = 0. Значит, P(x) делится на x − 2 без остатка, а x − 2 — множитель многочлена. Важно не перепутать знак: корню 2 соответствует x − 2, а корню −3 — x + 3, потому что x + 3 = x − (−3).

Схема Горнера: делим многочлен и завершаем разложение

Когда корень найден, многочлен нужно разделить на соответствующий множитель. В нашем примере делим x³ − 4x² + x + 6 на x − 2. Удобнее всего сделать это по схеме Горнера. Это компактный способ деления на двучлен вида x — a, где вместо длинного деления в столбик мы работаем только с коэффициентами. В результате сразу получаем коэффициенты частного и остаток. Главное правило здесь следующее: если делитель имеет вид x − a, то слева в схеме пишут число a. Поэтому для x − 2 слева ставим 2.

Дальше выписываем коэффициенты многочлена. Первый коэффициент сразу записываем в нижней строке. Затем двигаемся слева направо: берём число из нижней строки, умножаем на a и прибавляем к следующему коэффициенту сверху. Полученную сумму записываем в нижнюю строку. В итоге нижняя строка даёт коэффициенты частного, а последнее число — остаток.

В схеме Горнера последнее число в нижней строке — это остаток. Здесь он равен 0, значит, деление на x − 2 прошло без остатка и x − 2 действительно является множителем. Числа 1, −2, −3 в нижней строке — коэффициенты частного, то есть многочлена x² − 2x − 3. Поэтому разложение выглядит так:

x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2) (x² − 2x − 3)

Осталось разложить квадратный трёхчлен x² − 2x − 3. Для этого ищем два числа, которые в произведении дают −3, а в сумме дают −2. Сначала выписываем пары делителей числа 3 с нужным знаком: −1 и 3, 1 и −3. Проверяем: −1 + 3 = 2, а 1 + (−3) = −2. Подходят 1 и −3. Тогда:

x² − 2x − 3 = (x − 3) (x + 1)

Подставляем в разложение:

x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2) (x − 3) (x + 1)

Мы разложили многочлен на множители: (x − 2) (x − 3) (x + 1). Дальше используем правило нулевого произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому решаем по очереди: x − 2 = 0, x − 3 = 0, x + 1 = 0. Отсюда получаем корни: x = 2, x = 3, x = −1.

Типичные ошибки

Мы разобрали, как находить корень, применять теорему Безу и делить многочлен по схеме Горнера. А теперь, прежде чем перейти к задачам, давайте разберём четыре основные ошибки, которые чаще всего допускают новички.

Перепутать знак в двучлене (x − a) и в схеме Горнера

Чаще всего ошибки возникают на переходе к схеме Горнера: корень найден правильно, но в схему подставляют не то число. Например, при делении на x + 3 некоторые пишут слева 3, из‑за чего получают неверное частное.

Запомните правило самопроверки: число слева в схеме — это a, для которого делитель записывается как x − a. Поэтому при делении на x − 3 слева пишем 3, а при делении на x + 3 — −3, так как x + 3 = x − (−3).

Забыть нули на месте пропущенных степеней

В схеме Горнера мы используем коэффициенты при всех степенях многочлена. Поэтому, если какой‑то член отсутствует, на его месте в записи коэффициентов нужно поставить ноль. Например, возьмём такой многочлен:

x³ − 7x + 6

Так как в нём нет слагаемого с x², перед делением удобно переписать его так:

x³ + 0x² − 7x + 6

Тогда коэффициенты будут: 1, 0, −7, 6.

Если вместо коэффициентов 1, 0, −7, 6 записать 1, −7, 6, вы теряете член 0x². В итоге схема Горнера посчитает другое выражение, поэтому частное и остаток будут неверными: вы разделите не тот многочлен, что был в задаче.

Считать остаток частью ответа

В нижней строке схемы Горнера последнее число — это остаток, а все числа до него — коэффициенты частного. Остаток не прибавляется к частному и не становится ещё одним коэффициентом. Посмотрите следующий пример:

Остаток равен 0, а коэффициенты частного — 1, −2, −3. Значит, частное:

x² − 2x − 3

Для быстрой проверки умножаем частное на делитель и прибавляем остаток. Если вычисления верны, в результате получится исходный многочлен:

(x − 2) (x² − 2x − 3) + 0 = x³ − 4x² + x + 6.

Подбирать корни без плана

Допустим, свободный член равен 12. Тогда имеет смысл сначала проверить делители числа 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Если заранее выписать этот список и идти по нему, целый корень (если он есть) находится быстрее — и меньше шансов ошибиться в вычислениях. Это удобнее, чем проверять числа подряд (0, 1, 2, 3…) и тратить время на заведомо неподходящие значения.

Забывать, что правило про делители ищет целые корни

Если среди делителей свободного члена корня не нашлось, это не значит, что у многочлена вообще нет корней. Это означает только то, что среди проверенных целых делителей не оказалось корня — то есть у многочлена нет целого (простого) корня. Для примера возьмём уравнение x² − 2 = 0. В нём нет целых корней (±1, ±2), однако есть два действительных: x = ±√2.

Задачи для самопроверки

Чтобы закрепить материал, попробуйте самостоятельно решить задачи из этого раздела: сначала найдите корень подстановкой, затем при необходимости примените теорему Безу и схему Горнера, а в конце проверьте себя по ответам.

Задание 1

Найдите остаток от деления многочлена

P(x) = x³ + 2x² − 5x − 6

на двучлен x − 2

Задание 2

Разделите по схеме Горнера:

x³ − 6x² + 11x − 6

на x − 1

Задание 3

Разложите на множители:

x³ − 7x + 6

Подсказка: в этом многочлене нет слагаемого с x² — в списке коэффициентов на его месте должен стоять 0.

Задание 4

Найдите ошибку в записи коэффициентов для многочлена:

x⁴ − 2x² + x − 5

Коэффициенты записали так: 1, −2, 1, −5

Задание 5

Проверьте, является ли −2 корнем многочлена:

P(x) = x³ + 3x² − 4