Скалярное произведение векторов: формулы, определения, свойства

Скалярное произведение векторов — это число, которое получается в результате перемножения двух векторов. В программировании его используют для вычисления углов между объектами, проверки их направленности, нахождения проекций, вычисления длины векторов, расчёта освещения в графике и решения других задач, связанных с физическими симуляциями.

Например, скалярное произведение помогает определить угол между персонажем и камерой, что важно для управления её ориентацией и полем обзора. Оно также используется для построения навигации, механики стрельбы и позволяет точно рассчитать освещение объектов в компьютерной графике.

В статье мы рассмотрим свойства скалярного произведения и научимся его вычислять. Начнём с основных терминов и завершим задачами по теме.

Содержание

• Разбираемся с ключевыми терминами
• Находим скалярное произведение через угол
• Вычисляем скалярное произведение по координатам
• Знакомимся с главными свойствами
• Решаем задачи на поиск скалярного произведения

Основные определения

Вектор — это направленный отрезок, который можно представить в виде стрелки. Таким отрезком обозначают скорость, ускорение, силу и другие величины, обладающие размером и направлением.

Нулевой вектор — это разновидность вектора, длина (модуль) которого равна нулю. Он не имеет направления и представляет точку в пространстве.

Скаляр — это число, обладающее величиной и не имеющее направления. Примеры скалярных величин: масса, температура, время, расстояние и так далее.

Скалярное произведение векторов — это результат математической операции, не зависящий от выбора системы координат. Он зависит от длин векторов и угла между ними. В формуле для вычисления используется косинус угла — справочная величина, обозначающая отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Угол между векторами — это угол, образующийся между двумя векторами, исходящими из одной точки. Он может варьироваться от 0° до 180°:

• если угол меньше 90°, векторы направлены в одну сторону;
• если равен 90°, они перпендикулярны;
• если больше 90° — направлены в разные стороны;
• если угол равен 0° или 180° — коллинеарны.

Коллинеарные векторы — это ненулевые векторы, находящиеся на общей или параллельных прямых. У них может быть одинаковая или разная длина, а также одно или противоположное направление.

Читайте также:

Что такое коллинеарность векторов и как её определить

Как найти скалярное произведение векторов через угол

Воспользуемся следующей формулой:

В этой формуле: и  — выбранные векторы; и  — их длины (модули), а  — угол между ними.

Читайте также:

Как найти длину вектора: разбираем 3 способа

Геометрический смысл скалярного произведения заключается в том, что оно выражает величину проекции одного вектора на другой. Эту проекцию можно представить как «тень» одного вектора на ось направления другого. Чем больше векторы направлены в одну сторону, тем больше их проекция друг на друга. Если они направлены в противоположные стороны, их проекции уменьшаются и могут быть отрицательными — то есть «тень» одного вектора лежит в противоположном направлении относительно оси другого.

Представьте двух человек, тянущих верёвку в одном направлении. Поскольку они работают сообща, их усилия складываются и результат будет положительным — как положительное скалярное произведение векторов.

Теперь перейдём к расчёту. Допустим, длина равна 3, а длина  — 4, а угол между ними — 30°. Вычислим скалярное произведение:

Другая ситуация: первый человек тянет верёвку в одну сторону, а другой — в противоположную. Из-за этого их усилия работают друг против друга и результат может стать отрицательным. Оставим наши векторы с длинами 3 и 4, но изменим угол между ними на 120° и посчитаем:

Третья ситуация: оба человека тянут верёвку под прямым углом и их усилия не влияют друг на друга. Возьмём два наших вектора и изменим угол на 90°:

Если вы разработчик и вам нужно вычислять скалярное произведение на основе различных параметров, это удобно делать с помощью математических калькуляторов. Например, на сайте onlinemschool.com можно просто подставить значения и не вникать в смысл формул.

Однако, если вам нужно глубоко разобраться в геометрическом смысле скалярного произведения, проекции векторов и прочих параметрах, рекомендуем бесплатный сервис desmos.com. Это визуальный геометрический калькулятор, который позволяет вводить различные формулы и сразу видеть, что происходит.

Как найти скалярное произведение векторов по координатам

Если нам неизвестны длины векторов и угол между ними, для вычисления скалярного произведения мы можем использовать координаты векторов. Речь идёт о прямоугольной системе координат, состоящей из взаимно перпендикулярных осей. В двумерном пространстве для обозначения этой системы обычно используются оси X и Y, а в трёхмерном — оси X, Y и Z.

Можно представить вектор как стрелку, исходящую из начала координат и заканчивающуюся в определённой точке. Эта точка окончания вектора определяет его координаты. Из этой точки мы можем провести перпендикуляры на оси системы координат, чтобы получить прямоугольные треугольники и по ним рассчитать длину наших векторов.

В двумерном пространстве нам необходимо перемножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения:

В этой формуле:

• x₁ и y₁ — координаты ;
• x₂ и y₂ — координаты .

Добавим векторам координаты и посчитаем. Возьмём с координатами (3, 4) и  с координатами (2, 5):

В трёхмерном пространстве мы также перемножаем соответствующие координаты и затем складываем полученные произведения. Изменим координаторы (1, 2, 3) и  (4, 5, 6), а затем вычислим результат:

Свойства скалярного произведения векторов

У скалярного произведения есть несколько свойств, о которых важно знать перед решением задач. Эти свойства позволяют упростить вычисления.

Коммутативность. Скалярное произведение не зависит от порядка векторов, и поэтому их можно менять местами. Предположим, нам нужно выяснить, как сила соотносится с перемещением объекта. В этом случае мы можем взять первым любой вектор, и результат от этого не изменится:

Дистрибутивность. Скалярное произведение вектора на сумму двух векторов равно сумме скалярных произведений первого вектора и каждого из двух векторов. Звучит запутанно, но само свойство несложное:

Сочетательный закон. Это свойство позволяет группировать векторы при вычислении. То есть вы можете сначала вычислить скалярное произведение двух векторов, а затем умножить результат на третий вектор:

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Это можно выразить следующим образом:

Этот результат часто используется для вычисления длины вектора. Для примера возьмём с координатами (3, 4) и найдём его длину:

Теперь используем скалярное произведение:

Получаем доказательство нашего свойства:

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым или если векторы перпендикулярны друг другу:

• если = 0 или = 0, то ;
• если векторы перпендикулярны (), то .

Задачи для самопроверки на нахождение скалярного произведения векторов

Задача №1

Найдите скалярное произведение двух векторов длиной 5 и 7 единиц с углом 60° между ними.

Задача №2

Найдите скалярное произведение векторов с такими значениями:
= (2, 3, −1) и  = (−1, 4, 0).

Задача №3

Проверьте, являются ли = (1, 2, −3) и  = (3, −6, 1) ортогональными (перпендикулярными).

Задача №4

У нас есть два вектора: = (4, 3) и  = (6,0). Известно, что их скалярное произведение равно 24. Найдите угол между ними.