Линейная функция: график, формула и свойства

Графики многих математических функций сложные, извилистые и зависят от нескольких факторов — например, смещения, периодичности и преобразований. Другое дело — линейная функция. Её график выглядит как обычная прямая на координатной плоскости. В этой статье рассказываем, что такое линейная функция, какими свойствами она обладает и как построить её график.

Содержание

• Что такое линейная функция
• Определение линейной функции
• Свойства линейной функции
• Построение графика линейной функции
• Примеры с решениями
• Где применяется линейная функция

Что такое линейная функция

Представьте, что вы каждый месяц откладываете фиксированную сумму на отпуск. В таком случае итоговая сумма накоплений будет зависеть от количества месяцев, а рассчитать её можно будет с помощью формулы S = k × m. В ней S — итоговая сумма, k — ежемесячное пополнение копилки, m — количество месяцев.

Если у вас остались деньги с прошлого отпуска, то наверняка вы начали копить не с нуля. В таком случае в формуле появится b — начальная сумма: S = k × m + b.

Рассмотрим, как эта формула будет выглядеть в системе координат XY, в которой вертикальная ось X — месяцы, а горизонтальная ось Y — накопленная сумма.

Полученный график и есть линейная функция. В нашем случае она равномерно увеличивается, так как мы пополняем копилку каждый месяц.

Определение линейной функции

Если давать формальное определение, линейная функция — это простая математическая функция, которая описывает прямую линию на графике. В общем виде её уравнение можно записать следующим образом:

y = kx + b

В этом уравнении:

• у — значение функции;
• х — независимая переменная;
• k — коэффициент наклона;
• b — свободный член, который показывает, где линия пересекается с осью Y.

Свойства линейной функции

У линейной функции есть несколько важных свойств, которые её описывают. Давайте разберём их.

Угловой коэффициент

Угловой коэффициент k определяет наклон графика линейной функции и описывает, как быстро меняется значение y по сравнению с x. Он влияет на направление и угол наклона линии, а ещё с его помощью можно понять, как изменяется функция:

• Если k > 0, график наклонён вправо и функция будет возрастающей.
• Если k < 0, график наклонён влево и функция будет убывающей.
• Если k = 0, функция постоянна, и график у = b представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси X.

Чем больше по модулю значение k, тем больше угол между графиком и осью X. Например, если k = 1, то наклон прямой будет 45 градусов. Если увеличить угловой коэффициент до 2, прямая будет расти быстрее, а угол наклона увеличится.

Угловой коэффициент k также показывает, на сколько единиц изменится y, если x изменится на одну единицу. Например, если k = 2, то при увеличении x на одну единицу y увеличивается на две единицы. Этот принцип отражает постоянный темп изменения y по отношению к x.

Свободный член b

Свободный член b показывает, в какой точке график пересекается с осью Y и сдвигает его вверх или вниз. Он не влияет на наклон линии, а только на её положение по высоте:

• Если b > 0, прямая пересекает ось Y выше начала координат.
• Если b < 0, прямая пересекает ось Y ниже начала координат.
• Если b = 0, то линейная функция принимает вид y = kx. Такая функция называется прямо пропорционально, и её график проходит через начало координат.

Область определения функции

Область определения функции — это все значения, которые может принимать переменная x. Для графика функции y = kx + b область определения включает все действительные числа. В общем виде это можно записать так:

Читайте также:

Что такое действительные числа и для чего они нужны

Область значений функции

Область значений функции — это значения, которые может принимать переменная y при различных x. Область значения графика линейной функции также включает в себя все действительные числа. В общем виде это записывается следующим образом:

Если k = 0, то область значений функции будет включать только одно значение y = b.

Непрерывность

Линейная функция y = kx + b — непрерывная, так как её график представляет собой прямую линию без разрывов и скачков. Для любого значения x функция ведёт себя предсказуемо, и изменение x приводит к пропорциональному изменению y. Непрерывность линейной функции означает, что её график можно нарисовать одним движением, например, с помощью линейки.

Точки пересечения с осью X

График линейной функции y = kx + b пересекает ось X в точке x = −b / k при k ≠ 0. При k = 0 точек пересечения нет, так как уравнение превращается в у = b — это прямая линия, которая параллельна оси X и не пересекает её.

Обратимость

Обратимость — это возможность найти обратную функцию, которая позволяет выразить переменную x через переменную y. Основное условие обратимости линейной функции — это k ≠ 0.

Чтобы найти обратную линейную функцию, надо сперва выразить x через y:

После этого можно записать обратную функцию в следующем виде:

Чётность

Чётность функции показывает, как она ведёт себя при замене x на −x:

• Чётная функция: при замене x на −x значение не меняется, то есть f(−x) = f(x).
• Нечётная функция: при замене x на −x значение меняется на противоположное, то есть f(−x) = −f(x).

Разберём, как это работает, на примере функции f(x) = 5x. В ней коэффициент наклона k = 5, а свободный член b = 0. Сперва подставим в неё −x:

f(−x) = 5(−x) = −5x

Знак перед функцией поменялся на противоположный, а это значит, что применимо свойство f(−x) = −f(x). Следовательно, f(x) = 5x — нечётная функция.

Построение графика линейной функции

Построить график линейной функции просто. Для этого нужно найти две точки на графике и провести через них прямую. В общем виде алгоритм выглядит так.

Шаг 1. Найдём точку пересечения с осью Y. Точка пересечения с осью Y — это точка, в которой x = 0. Чтобы найти её, надо подставить x = 0 в уравнение функции y = kx + b:

y = k × 0 + b = b

Значит, у точки пересечения с осью Y координаты (0, b).

Шаг 2. Найдём вторую точку графика для любого значения x. Для этого выбираем любое значение x, желательно не слишком близкое к 0 (например x = 1 или x = −1), подставляем его в уравнение и находим значение y.

Шаг 3. Строим график. Отмечаем найденные точки на графике и проводим через них прямую — это и будет график линейной функции.

Если k = 0, то график будет горизонтальной линией, так как y = b останется неизменным при любом x.

Примеры с решениями

Разберём алгоритм построения графика линейной функции более детально. Для примера построим график возрастающей функции у = 2х + 3:

Шаг 1. Найдём точку пересечения с осью Y. Подставим в уравнение x = 0:

у(0) = 2 × 0 + 3 = 3.

Значит, координаты точки пересечения с осью Y — (0, 3).

Шаг 2. Найдём вторую точку графика. Для этого надо выбрать любое значение x и подставить его в уравнение. Возьмём х = 1 и подставим в у = 2х + 3:

у(1) = 2 × 1 + 3 = 5

Координаты второй точки графика: (1, 5).

Шаг 3. Строим график. Отметим точки с координатами (0, 3) и (1, 5) на координатной плоскости и проведём через них прямую:

График линейной функции может быть и убывающим. Чтобы быть готовыми ко всему, разберём и такой случай.

Построим график убывающей функции у = −0,5х − 1.

Шаг 1. Найдём точку пересечения с осью Y.

y(0) = −0,5 × 0 − 1 = −1

Координаты первой точки — (0, −1).

Шаг 2. Найдём вторую точку графика.

Подставим значение x = 2 в уравнение:

у(2) = −0,5 × 2 − 1 = −2

Координаты второй точки — (2, −2).

Шаг 3. Строим график.

Отметим точки с координатами (0, −1) и (2, −2) на координатной плоскости и проведём через них прямую:

Где применяется линейная функция

Линейную функцию используют для расчёта событий и явлений, которые с течением времени изменяются равномерно. Это незаменимый инструмент для решения задач, в которых важна пропорциональная зависимость между параметрами. Ниже примеры сфер, в которых линейную функцию используют чаще всего.

Экономика и бизнес

Представьте, что вы продаёте товар с фиксированной ценой, а всего у вас есть x единиц товара. Учтём, что часть средств надо вкладывать в рекламу и продвижение. Тогда доходы от продажи товара можно описать с помощью линейной функции y = px − c.

В которой:

• y — прибыль;
• p — цена за единицу товара;
• x — количество товара;
• c — расходы на рекламу.

Физика

В физике с помощью линейной функции описывается прямолинейное равномерное движение. Если объект движется с постоянной скоростью v, то путь s зависит от времени: s = vt.

Программирование

Разработчики часто используют линейные функции для прогнозирования событий. Например, можно рассчитать, какую оценку пользователь может дать товару в онлайн-магазине. Допустим, рейтинг зависит от нескольких факторов. В таком случае формула прогноза будет выглядеть так:

y = k₁x₁ + k₂x₂

В которой:

• y — прогнозируемый рейтинг товара;
• x₁, x₂ — факторы, которые влияют на оценку:

• x₁ — качество товара,
• x₂ — цена товара.

• k₁, k₂ — коэффициенты значимости факторов:

• Если k₁ > k₂, то качество товара важнее его цены.
• Если k₁ < k₂, то пользователи больше внимания уделяют цене.

Что запомнить

• Линейная функция описывает прямую линию на графике, а её общее уравнение выглядит так: y = kx + b.
• За «крутизну» наклона функции отвечает угловой коэффициент k. Если он больше нуля, то график идёт вверх, если меньше — вниз. Чем больше k, тем сильнее линия «взлетает» или «падает».
• Линейная функция определена для всех действительных чисел.
• Чтобы построить график линейной функции, надо с помощью уравнения функции найти две точки, отметить их на координатной прямой и соединить их прямой линией.