Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства и примеры задач

Представьте, что у вас есть пробирка с бактериями, которые делятся каждые два часа. Предположим, в самом начале их было всего 10, а рост бактерий будет происходить так:

• Начальная популяция: 10 бактерий.
• Через два часа: 10 × 2 = 20 бактерий.
• Через четыре часа: 20 × 2 = 40 бактерий.
• Через шесть часов: 40 × 2 = 80 бактерий.

Каждые два часа популяция бактерий увеличивается в два раза. Это и есть проявление геометрической прогрессии. Дадим ей определение.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на фиксированное число, называемое знаменателем (или коэффициентом) прогрессии.

В этой статье разберёмся, как устроена геометрическая прогрессия, для чего она нужна и почему числа в ней так быстро увеличиваются. В конце статьи вас ждут практические задачки, которые помогут закрепить материал.

Содержание

• Формулы геометрической прогрессии
• График членов прогрессии
• Практические задачи

Формулы геометрической прогрессии

Разберём основные формулы геометрической прогрессии.

Формула общего члена

С помощью формулы общего члена прогрессии можно найти любой член прогрессии, зная только первый член и знаменатель. Например, так можно узнать, сколько бактерий будет в пробирке через сутки, если они делятся каждые два часа.

В общем виде формула выглядит так:

a_n = a₁ × qⁿ⁻¹

В ней:

• a_n — n-й член прогрессии.
• a₁ — первый член прогрессии.
• q — знаменатель (коэффициент) прогрессии, который определяет разницу между двумя соседними членами прогрессии.
• n — номер члена.

Вернёмся к нашим бактериям и посчитаем, сколько их будет в пробирке через сутки. В этом случае первым членом прогрессии будет начальное число бактерий, а знаменателем — количество часов, которое нужно им для деления:

a_n = 10 × 2ⁿ⁻¹

Бактерии делятся каждые два часа, в сутках будет 12 интервалов деления. Нас интересует 13-й член прогрессии:

a₁₃ = 10 × 2¹² = 10 × 4096 = 40 960

Таким образом, через сутки у нас будет 40 960 бактерий.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Как посчитать сумму нескольких членов прогрессии? Самый простой вариант — просто найти эти члены и сложить. Такой подход применим только для небольших прогрессий. Представьте, что у вас несколько десятков слагаемых. На нахождение их суммы с помощью обычного сложения уйдёт очень много времени.

Можно облегчить себе задачу и воспользоваться формулой суммы первых членов прогрессии:

В ней:

• S_n — сумма первых n членов прогрессии.
• a₁ — первый член прогрессии.
• q — знаменатель прогрессии.
• n — количество членов, сумму которых нужно найти.

Важно отметить, что формула выше актуальна только в случае, когда знаменатель прогрессии не равен единице (q ≠ 1). Если q = 1, то сумма первых n членовнаходится следующим образом:

S_n = n ⋅ a₁

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии квадрат любого числа всегда равен произведению его соседних членов. Это свойство называют характеристическим. С его помощью можно проверить, является ли последовательность чисел геометрической прогрессией.

Исходя из этого можно возвести в квадрат второй член прогрессии и перемножить между собой первый и третий член прогрессии. По характеристическому свойству должны получиться одинаковые числа:

Читайте также:

Арифметическая прогрессия: формулы, примеры, определения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

В убывающей геометрической прогрессии, где ∣q∣ < 1, члены прогрессии становятся всё меньше и меньше. Но мы всё равно можем найти их сумму по следующей формуле:

В ней:

• S_∞ — сумма бесконечно многих членов прогрессии.
• a₁ — первый член прогрессии.
• q — знаменатель прогрессии, где ∣q∣ < 1.

Формула для расчёта знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии показывает, во сколько раз уменьшается или увеличивается каждый последующий член по отношению к предыдущему. Найти его можно с помощью следующей формулы:

В ней:

• q — знаменатель прогрессии;
• a_n — текущий член прогрессии;
• a_n+1 — следующий член прогрессии.

Допустим, у нас есть прогрессия 2, 6, 18, 54. Для того чтобы найти её знаменатель, подставим первый и второй члены в формулу и посчитаем:

Следовательно, знаменатель прогрессии равен 3.

Формула первого члена прогрессии

Если нам известен один из членов прогрессии и знаменатель, то мы можем найти первый член прогрессии. Для этого надо применить следующую формулу:

В которой:

• a_n — известный член прогрессии;
• q — знаменатель;
• a₁ — первый член прогрессии.

Вернёмся к прогрессии 2, 6, 18, 54. Представим, что мы знаем только третий член a₃ = 18, а знаменатель мы нашли в прошлом примере. В таком случае у нас есть всё необходимое, чтобы найти первый член a₁:

Получается, что первый член прогрессии a₁ = 2.

График членов геометрической прогрессии

Рассмотрим, как располагаются члены прогрессии в двумерной системе координат. Пусть на горизонтальной оси X будут размещаться номера членов прогрессии n, а на вертикальной оси Y — значения этих членов an. Тогда графиком прогрессии будет показательная функция.

Графики геометрических прогрессий растут или убывают в зависимости от знака знаменателя q:

• Если q > 1: график представляет собой экспоненциальный рост, члены прогрессии увеличиваются, и кривая растёт вверх.
• Если q < 0: график будет колебаться вверх и вниз в зависимости от чётности или нечётности номера члена.

Рассмотрим прогрессию 3, 6, 12, 24, …, 3 × 2ⁿ⁻¹.

Отложим на оси X номера членов прогрессии n, а на оси Y — значения этих членов an. В этом случае члены геометрической прогрессии будут располагаться на графике функции:

y = 3 × 2^x−1

• Если 0 < q < 1: график представляет собой экспоненциальное убывание. Члены прогрессии уменьшаются. Кривая будет стремиться к нулю, но никогда не достигнет его.

Рассмотрим убывающую прогрессию:

Если будем откладывать на оси X номера членов прогрессии n, а на оси Y — значения an, то члены геометрической прогрессии будут располагаться на графике функции:

Практические задачи

Теперь мы знаем все формулы и свойства геометрической прогрессии, которые могут пригодиться для решения практических задач. Ниже представлены три задачи и подробные решения. Не спешите смотреть ответ, сначала попробуйте решить сами.

Задача 1

Первый член геометрической прогрессии a1 = 3, знаменатель q = 2. Найдите третий и четвёртый член прогрессии.

Задача 2

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если a₁ = 1, а знаменатель q = 3.

Задача 3

Является ли последовательность чисел 2, 6, 19, 57, 172 геометрической прогрессией?