Что такое среднеквадратичное отклонение и как его посчитать

Компания перевела четырёх айтишников на удалёнку и каждому выдала свой Wi‑Fi-роутер разных провайдеров. Чтобы понять, какой провайдер лучше, сотрудников попросили в течение дня несколько раз замерять скорость интернета. И вот какие результаты они получили:

• Первый: 96, 98, 102, 100, 100, 104, 98.
• Второй: 140, 20, 170, 50, 130, 160, 30.
• Третий: 110, 108, 104, 94, 106, 112, 90.
• Четвёртый: 20, 20, 180, 180, 20, 140, 120.

Несмотря на примерно одинаковую среднюю скорость — около 100 Мбит/с, — качество интернета у всех было разным. Кто-то мог спокойно работать, у других периодически возникали задержки, а кому-то постоянно приходилось перезагружать роутер, чтобы восстановить соединение.

Чтобы понять причину таких различий, недостаточно посмотреть на среднюю скорость. Важно определить, насколько сильно скорость интернета колеблется в течение дня. Для этого есть специальный показатель — среднеквадратичное отклонение (СКО). Давайте разберёмся, что такое СКО и как его рассчитать — вручную или с помощью Python.

Содержание

• Что такое среднеквадратичное отклонение в статистике
• Как вычислить среднее квадратическое отклонение по формуле
• Как посчитать среднеквадратическое отклонение с помощью Python

Что такое среднеквадратичное отклонение в статистике

Среднеквадратичное отклонение показывает, насколько сильно отдельные значения отличаются от среднего. Чем больше отклонение, тем сильнее разброс данных и меньше предсказуемость. В статистике этот показатель также называют стандартным отклонением, среднеквадратическим отклонением или просто сигмой (σ).

В нашем примере с Wi‑Fi расчёт среднеквадратичного отклонения поможет понять, насколько стабильна скорость интернета у каждого сотрудника. Если СКО будет составлять всего 2–3 Мбит/с — значит, интернет работает стабильно. А вот значение 60–70 Мбит/с укажет на то, что скорость резко скачет и пользоваться таким соединением неудобно.

Прежде чем перейти к расчётам, важно сказать, что среднеквадратичное отклонение связано с другой статистической величиной — дисперсией. Только если дисперсия показывает среднее значение квадратов отклонений от среднего, то среднеквадратичное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. В виде формулы это записывается так:

В случае с Wi‑Fi-соединением дисперсия покажет нужный нам разброс значений скорости, однако будет измеряться в неудобных квадратных единицах — (Мбит/с)². Поэтому, чтобы получить результат в привычных единицах (Мбит/с), нам достаточно извлечь квадратный корень из дисперсии. Например, если дисперсия равна 400 (Мбит/с)², то среднеквадратичное отклонение составит 400 = 20 Мбит/с.

При этом без расчёта дисперсии не обойтись. Дело в том, что обычное сложение отклонений от среднего приведёт к тому, что положительные и отрицательные значения взаимно погасят друг друга. Так, если скорости равны 90, 100 и 110 Мбит/с, то их среднее — 100, а отклонения — −10, 0 и 10. В сумме получится ноль, хотя разброс здесь явно есть. А вот если все отклонения сначала возвести в квадрат, то можно избавиться от отрицательных значений и учесть реальную величину разброса.

Читайте также:

Дисперсия в статистике: теория, формулы, примеры

Как вычислить среднее квадратическое отклонение вручную по формуле

Начнём с формулы, которая поможет нам вычислить дисперсию:

Расшифруем элементы формулы:

• xᵢ — каждое отдельное значение в наборе данных.
• x̄ — среднее арифметическое всех значений.
• xᵢ − x̄ — отклонение каждого значения от среднего.
• (xᵢ − x̄)² — квадрат отклонения.
• ∑ — сумма всех квадратов отклонений.
• n — общее количество значений в наборе данных.

Дальше мы разберём, как рассчитать дисперсию для первого сотрудника. Затем извлечём квадратный корень, получим среднеквадратичное отклонение и сделаем выводы о стабильности интернет-соединения.

Шаг 1. Сложим все измерения, разделим полученную сумму на их количество и найдём среднюю скорость интернет-соединения:

x̄ = (96 + 98 + 102 + 100 + 100 + 104 + 98) / 7 ≈ 99,71 Мбит/с.

Шаг 2. Вычтем из каждого значения среднее арифметическое, чтобы получить отклонение каждого измерения от среднего (xᵢ − x̄):

• 96 − 99,71 = −3,71.
• 98 − 99,71 = −1,71.
• 102 − 99,71 = 2,29.
• 100 − 99,71 = 0,29.
• 100 − 99,71 = 0,29.
• 104 − 99,71 = 4,29.
• 98 − 99,71 = −1,71.

Шаг 3. Возведём все отклонения в квадрат и избавимся от знаков минуса:

• (−3,71)² = 13,76.
• (−1,71)² = 2,92.
• (2,29)² = 5,24.
• (0,29)² = 0,08.
• (0,29)² = 0,08.
• (4,29)² = 18,40.
• (−1,71)² = 2,92.

И теперь давайте сразу сложим все квадраты отклонений:

13,76 + 2,92 + 5,24 + 0,08 + 0,08 + 18,40 + 2,92 = 43,4 (Мбит/с)².

Шаг 4. Нам осталось разделить сумму квадратов отклонений на количество значений, чтобы узнать дисперсию: 43,4 / 7 = 6,2 (Мбит/с)².

Шаг 5. Извлекаем квадратный корень из дисперсии и, наконец, получаем среднеквадратичное отклонение: 6,2 ≈ 2,49 Мбит/с. Такое небольшое значение СКО указывает на то, что соединение у первого айтишника было довольно стабильным, и он, скорее всего, работал без каких-либо сбоев.

Мы рассчитали среднеквадратичное отклонение только для первого сотрудника, но нужно проанализировать ещё трёх. Чтобы не повторять все шаги вручную, можно воспользоваться онлайн-калькуляторами или написать собственную программу. Первый вариант удобен для разовых расчётов, а второй подойдёт, если вы хотите выполнять такие вычисления регулярно и гибко настраивать процесс под себя. Давайте выберем второй способ и в следующем разделе напишем программу для расчёта СКО,

Как посчитать среднеквадратическое отклонение с помощью Python

Мы не будем устанавливать Python на компьютер и настраивать редактор кода. Вместо этого перейдите на сайт бесплатного сервиса Google Colab, создайте новый блокнот и вставьте следующий код в пустую ячейку:

import math

# Запрашиваем данные
data = input("Введите значения через пробел или запятую: ")

# Преобразуем введённую строку в список чисел
try:
    # Заменяем запятые на пробелы и разбиваем строку на отдельные элементы
    numbers = list(map(float, data.replace(',', ' ').split()))
except ValueError:
    # Если не удалось преобразовать хотя бы одно значение в число — выводим сообщение об ошибке
    print("Ошибка: введите только числа, разделённые пробелами или запятыми.")
    numbers = []

# Проверяем, что список не пустой
if numbers:
    n = len(numbers)  # Количество элементов
    mean = sum(numbers) / n  # Среднее арифметическое
    # Вычисляем квадраты отклонений от среднего для каждого значения
    squared_diffs = [(x - mean) ** 2 for x in numbers]
    variance = sum(squared_diffs) / n  # Дисперсия
    std_deviation = math.sqrt(variance)  # Среднеквадратичное отклонение

    # Выводим результаты
    print(f"Среднее значение: {mean:.2f}")
    print(f"Дисперсия: {variance:.2f}")
    print(f"Среднеквадратичное отклонение: {std_deviation:.2f}")
else:
    print("Расчёт не выполнен.")

Теперь вы можете ввести любой набор чисел и сразу получить все нужные показатели. Например, если ввести значения для второго сотрудника, программа покажет среднее значение (100), дисперсию (3 542,86) и среднеквадратичное отклонение (59,52). При этом вы всегда можете изменить формулу или настроить вывод под свои задачи:

С помощью Google Colab мы рассчитали среднеквадратичное отклонение для оставшихся айтишников и теперь можем сравнить результаты:

• 2,49 — у первого почти нет колебаний, соединение надёжное.
• 59,52 — у второго сильные скачки, интернет нестабилен.
• 7,69 — у третьего были небольшие колебания, но в целом соединение стабильное.
• 69,63 — у четвёртого наблюдались самые резкие перепады.

Компании, получившей эти данные, стоит отдать предпочтение первому или третьему провайдеру. Это поможет избежать проблем с обрывами соединения и сэкономить нервы как сотрудникам, так и техподдержке.

Читайте также:

Что такое Google Colab и как с ним работать: всё, что нужно знать новичку